Евгений Ставер родился 16 февраля 1998 года в Иркутске. Профессиональную карьеру начинал в ФК «Байкал». С 2017 года выступал за молодёжные команды новосибирской «Сибири».
В сезоне-2018/2019 Евгений Ставер сыграл в 4 матчах ОЛИМП-ПФЛ, в которых пропустил 6 мячей.