Даниил Большунов родился 3 апреля 1997 года в Тольятти. Профессиональную карьеру начал в футбольном клубе «Якутия», откуда перешёл в 2016 году в «Томь». В составе томского клуба Даниил Большунов провёл 10 матчей российской Премьер-лиги и 14 матчей ФНЛ.
В минувшем сезоне Даниил Большунов выступал на правах аренды в футбольном клубе «Сахалин», в составе которого провёл все без исключения матчи в ОЛИМП-ПФЛ и ОЛИМП-Кубке России, забил 6 голов и стал победителем зоны «Восток», забив победный гол в решающем выездном матче в ворота омского «Иртыша» (2:1). Впрочем, впоследствии КДК РФС снял с островного клуба 3 очка, и титул перешёл к омичам.